\section*{Aufgabe 5}
\begin{enumerate}
	\item Wir wissen aus der Vorlesung: $\K = \{ A \in \Z^{n \times n}_m: ggT(det(A), m) = 1\}$ \\
		  Weiterhin wissen wir bereits, dass die Voraussetzung $ggT(det(A), m) = 1$ bedeutet, dass die Matrix invertierbar sein muss. \\
		  Also folgern wir: $\K = \{ A \in GL(n, \Z_m)\}$. Für unsere Aufgabe bedeutet dies: \\
		  $|\K| = |\{ A \in GL(2,\Z_6) \}|$. D.h. wir suchen die Anzahl aller regulären $2 \times 2$ Matrizen über $\Z_6$ \\
		  Um die Anzahl aller regulären $2 \times 2$ Matrizen über $\Z_6$ zu berechnen bedienen wir uns einer Formel aus F. L. Bauer. Decrypted Secrets. \\
		  Demnach gilt für die Anzahl $g(m,n)$ der regulären $n \times n$ Matrizen über $\Z_m$: \\
		  $m = p$ prim \\
		  \begin{eqnarray*}
		  	g(p,n) 	& = (p^n - 1) \cdot (p^n - p) \cdot (p^n - p^2) \cdot \hdots \cdot (p^n - p^{n-1})
		  			& = p^{n^2}	\cdot \rho(p,n) 
		  \end{eqnarray*}
		  mit
		  \begin{equation*}
		  	\rho(p,n) = \prod_{k=1}^n (1 - \frac{1}{p^k}).
		  \end{equation*}
		  Es sei zu erwähnen, dass $p^{n^2}$ die Anzahl aller möglichen $n \times n$-Matrizen über $\Z_p$ angibt.
		  Sei nun $N = p^{\alpha}$ eine Primzahlpotenz. Dann gilt die Beziehung
		  \begin{equation*}
		  	g(p^{\alpha}, n) = g(p,n) \cdot (p^{\alpha-1})^{n^2} = (p^{\alpha})^{n^2} \cdot \rho(p,n) = N^{n^2}\cdot \rho(p,n).
		  \end{equation*}
		  Sei nun $m = p_1^{\alpha_1} \cdot \vdots \cdot p_r^{\alpha_r}$ eine beliebige natürliche Zahl. Dann gilt:
		  \begin{equation*}
		  	g(m,n) = N^{n^2} \cdot \rho(p_1,n) \cdot \rho(p_2,n) \cdot \hdots \cdot \rho(p_r,n).
		  \end{equation*}
		  Also können wir nun unsere Rechnung beginnen indem wir $m = 6 = 2 \cdot 3$ wählen. \\
		  \begin{eqnarray*}
		  	g(6,2)	& = & 6^{2^2} \cdot \rho(2,2) \cdot \rho(3,2) \\
		  			& = & 6^4 \cdot \prod_{k=1}^2 (1 - \frac{1}{2^k}) \cdot \prod_{k=1}^2 (1 - \frac{1}{3^k}) \\
		  			& = & 1296 \cdot (1 - \frac{1}{2}) \cdot (1 - \frac{1}{4} \cdot (1 - \frac{1}{3}) \cdot (1 - \frac{1}{9}) \\
		  			& = & 1296 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{8}{9} \\
		  			& = & 288
		  \end{eqnarray*}
		  Ich möchte erwähnen, dass ich zu der Lösung dieser Aufgabe auf ein Script im Internet gestoßen bin 													
		  (http://homepage.uibk.ac.at/$\sim$c62552/2003ws/kry\_skriptum2.pdf)
\end{enumerate}